[일기장] Dream with the pretty

회전변환, rotation이 linear transformation이라는 건 trivial하다.

Consider two vectors in 3-dimensional space. 각각을 a, b라고 부르자.

그러면 scalar c를 벡터 b에 곱해서 a+cb=d라는 벡터를 만들어 낼 수 있다.


과정은 상상 속으로...ㅋㅋ


그러면 d를 회전시켜보자. 임의의 축 p에 대해 임의의 각 alpha만큼 회전시킨 결과를 상상하자.

그러면 각각 a, b를 p에 대해 alpha만큼 회전시키고, b를 c만큼 스칼라배시켜서, 다시 a'+cb' 을 구해보자.

결과는 d와 같을까?


당연히 같겠지ㅋㅋ


회전변환을 R이라고 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다.



그러면 직접 회전변환을 유도해 보자.

쉽게쉽게 2차원부터 간다.
원점을 기준으로 counterclockwise로 회전시킨다.

basis vectors의 회전이 각각 R의 column이 될 것이므로, cartesian coordinate의 orthonormal basis vector를 각각 alpha만큼 회전시키면,

(1, 0) 의 경우는 (cos alpha, sin alpha) 이 될 것이고,
(0, 1) 의 경우는 (cos alpha+pi/2, sin alpha+pi/2) = (- sin alpha, cos alpha) 가 될 것이다.

그럼 R은 다음 형태가 된다.



3-dimensional 에서는 어떨까?
먼저 x-axis를 기준으로 회전시킨다고 해보자. (물론 counterclockwise방향ㅋ)

(1, 0, 0) 은 (1, 0, 0).
(0, 1, 0) 은 (0, cos alpha, sin alpha)
(0, 0, 1) 은 (0, cos alpha+pi/2, sin alpha+pi/2) = (0, -sin alpha, cos alpha)

결국 R은 다음과 같다.



생각보다 간단하다.

암산도 가능ㅋㅋ



다음 번에 좀 더 깔끔하게 정리해야겠다. 그림도 넣고 수식도 넣고.