오랜만에 LaTeX 글을 올린다.
어쨌거나, 결론은 오일러수나 원주율이나 다항함수로 나타낼 수 있다는 것.
오일러수는 태일러 전개가 적은 텀으로도 충분히 근사가 가능하다.
근데 원주율은 꼭 그렇지만은 않다.
원주율은 다양한 방법이 있는데, 위에 쓴 것처럼 아크탄젠트(1)을 이용[1]해도 되고, 왈리스 프로덕트를 이용[2]해도 된다.
이 외에도, 아크탄젠트(1/2) + 아크탄젠트(1/3) = 아크탄젠트(1)임을 이용[4]해도 된다.
혹은 6*2^n 각형을 이용[3]해서 원주율을 계산해도 된다. (mgeo67님의 방법)
그리고 친구가 알려준 방법[5]이 있는데, 이건 허락을 맡지 않아서 비공개로 해둔다. (엄청나게 빠르고 정확한 원주율 근사 ㄷㄷ n=2 일 때도 3.14159266097 값이 나올 정도다.)
python으로 코딩해보았다.
n은 전개한 텀, 혹은 연산 과정의 회수를 의미한다.
15개의 다항함수로 오일러수는 소수점 11번째까지 일치한다.
그레고리 시리즈(아크탄젠트(1))나 왈리스 프로덕트는 백만개의 텀을 더해도 소수점 5번째 자리까지만 일치한다. (그레고리 시리즈는 뒷부분은 일치하는 경향을 보인다.)
mgeo67님의 방법은 파이썬의 자리 수 한계로 n=18 이상에서 오차가 커지기 때문에 n=17로 잡았다. (가장 근사한)
아크탄젠트(1/2)+아크탄젠트(1/3) 은 아크탄젠트(1)에 비해 엄청나게 빠른 속도로 원주율과 가까워진다.
17개의 텀을 더했을 때 벌써 소수점 11자리까지 일치한다.
친구가 알려준 방법은 음.... ㅋㅋㅋㅋ
어쨌거나 초월수도 폴리노미얼로 나타내서 근사하면,
컴퓨터 계산에서도 거의 정확하게 써먹을 수 있다. 직접 입력하는 것보다 낫다.
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