Wedge product

 텐서 공부 다시해야할 판ㅋㅋ
 LaTeX로 정리하면 더 깔끔하겠지만, 귀찮으니 가볍게 블로그에 포스팅해보자.
 오늘 공부하다가 vectors A, B, C가 만드는 volume을 A · (B∧C) 로 표기하길래 생각나는 김에 한 번 글을 써 본다.

 Wedge product는 cross product의 확장팩으로 볼 수 있다. 대격변!

Wedge prod.는 cross prod.의 단점인 3, 7-dimensional에서만 사용가능함을 보완했다. 일반화 시킨 것이다.
그래서 그 기능은 cross prod. 와 크게 다르지 않다. Wedge prod.는 ∧ 이렇게 표기한다. (Set theory에서와는 다른 의미로 사용한다.)

기본적인 특성은 다음과 같다.

(1) g_i∧g_i = 0 for all i. [^∀i in integer, g_i∧g_i = 0]
(2) g_i∧g_j = - g_j∧g_i for all i, j [[^∀i, j in integer, g_i∧g_j = - g_j∧g_i]

(2)를 요약하면 anticommutative하다.

cross prod.의 성질과 같다. (a×a=0, a×b=-b×a)


물론, ∧의 distributive한 성질을 이용하면 (2)는 (1)을 통해 쉽게 증명할 수 있다.

proof.
(g_i+g_j)∧(g_i+g_j) = 0
g_i∧g_j + g_j+g_i = 0
g_i∧g_j = - g_j∧g_i

그러면 일반적인 경우로 직접 wedge prod.를 전개해 보자.

A, B in R^3 이라 하자.
A∧B = (A_iB_j-A_jB_i)(g_i∧g_j) + (A_jB_k-A_kB_j)(g_j∧g_k) + (A_kB_i-A_iB_k)(g_k∧g_i)

물론 g_i∧g_j = g_k 등이 성립한다고 보면
A∧B  = e_ijk A_iB_jg_k 이다.
A×B  = e_ijk A_iB_jg_k 와 같다.

두 번째로 쓰지만... wedge prod.는 cross prod.의 확장팩이다.
간단하게 표현하고자 레비치비타심벌을 쓰자.

A, B, C in R^3 이라 하자.
A∧B∧C = (e_ijk A_i B_j C_k) g_i∧g_j∧g_k

Wedge prod.는 여기까지만 소개한다.

이번 방학에 다시 공부해야겠다.
아직도 정의 그대로밖에 모른다. 응용하고 적용하려면 좀 더 공부해야겠다.
2010년보다 나은 2011년을 위해 ㅋㅋ



이걸 수학에 넣어야 하나 과학에 넣어야 하나...
경계선이 무너지는 느낌.

오늘 처음으로 글상자라는 것을 사용해 봤다.
예쁘다^^