Angular momentum operators (l=1)

★ 과학 이야기2012. 2. 16. 21:10

Angular momentum operators (l=1)

간단한 모양이고, eigenvalues가 +-하바, 0으로 뻔하게 예상되니 eigenkets도 뻔하게 보인다.

	Operator	Eigenkets
z	$L_z= \hbar\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 0 &0 &-1 \end{pmatrix}$	$\|+\rangle, \|0\rangle, \|-\rangle$
x	$L_x= \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 1 &0 &1 \\ 0 &1 &0 \end{pmatrix}$	$\frac{\|+\rangle}{2}+\frac{\|0\rangle}{\sqrt{2}}+\frac{\|-\rangle}{2},\frac{\|+\rangle}{2}-\frac{\|-\rangle}{2},-\frac{\|+\rangle}{2}+\frac{\|0\rangle}{\sqrt{2}}-\frac{\|-\rangle}{2}$
y	$L_y= \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 &-i &0 \\ i &0 &-i \\ 0 &i &0 \end{pmatrix}$	$\frac{\|+\rangle}{2}+i\frac{\|0\rangle}{\sqrt{2}}-\frac{\|-\rangle}{2},\frac{\|+\rangle}{2}+\frac{\|-\rangle}{2},-\frac{\|+\rangle}{2}+i\frac{\|0\rangle}{\sqrt{2}}+\frac{\|-\rangle}{2}$

그냥 눈대중으로 한거라 틀릴 수도 있는데ㅋㅋ 맞겠지 뭐.

물론 각 operator가 Hermitian이고, commutative relation
$\left[L_i,L_j\right]=i\hbar\epsilon_{ijk} L_k$
이 성립함은 당연하다.

이는 Pauli matrces/2 의 관계와 같으며, SO(3)-SU(2) homomorphism과 관계가 있다.

'★ 과학 이야기' 카테고리의 다른 글

[Wikipedia] Huygens–Fresnel principle (0)	2012.03.30
Probability flux (0)	2012.03.16
Blackbody Radiation 수식정리 (0)	2011.03.18
Blackbody radiation 총정리 (0)	2011.03.18
Schottky diode (0)	2011.03.04