Metric space 2

이번엔 저번 글(Metric space)에 이어서 메트릭 스페이스를 공부한다.
// 사실 저번 글 내용은 대부분 이번 글에 포함되어 있음ㅋㅋ

Definition.

Metric space

Two points 간에 distance를 정의할 수 있는 space.

Distance를 정의할 수 있다는 성질이 갖는 의미의 일부를 깨닫는데 시간이 걸렸다.


Recall.

Distance function

아래의 세 조건을 만족하는 function(Binary map).
(i) d(p,q)>0 if p != q, d(p,p)=0
(ii) d(p,q) = d(q, p) (symmetry)
(iii) ∀r, d(p,q) <=(equal or less than) d(p,r)+d(r,q)

뭐, 별로 이해하기 어려운 내용은 아니다.


자 이걸로 이것 저것 재미있는 것들을 해 보자.

X를 metric space, E를 X의 subset이라고 하자.

Neighborhood
Radius가 R인 점 p in E의 neighborhood는 N_R (p)로 표기하며 d(p,q)<R 인 q들의 집합을 말한다.

다른 방법으로 네이버후드를 N(p;R) 로 표기하기도 한다.

Limit point
A pt p가 E의 limit point란 것은 p의 모든 네이버후드가 q in E(q !=p)를 포함한다는 것을 말한다.

Limit point가 아닌 pt를 isolated point라고 한다.

Interior point
A pt p in E의 네이버후드가 E의 subset일 때, p를 E의 interior point라고 한다.

Interior of E는 E에 superscript로 동그라미 하나 얹는 걸로 표기하는데, E의 interior pts의 집합이다.

i) Closed set
리밋 포인트를 모두 포함하는 집합
ii) Open set
모든 포인트가 interior pt인 집합

뭐 소개하거나 쓸 말은 더 많은데
이쯤에서 자르고 다음 글에 쓰던가 해야지...ㅋㅋ

어쨌든 거리를 잴 수 있어야 네이버후드도 정의가능하다.
1-dimensional set을 생각하면 네이버후드가 거리가 되겠지만, general하게 생각하려면 네이버후드를 생각하는 게 낫다.